Coordenadas Esféricas (Exercício Resolvido)

1) Calcule:

, onde

e Ω é a região comum entre as esferas:

Equação (9)

Equação (10)

Primeiro vamos projetar as esferas dadas no plano x = 0, assim como na figura abaixo:

Figura (1)

Fazendo isto nossas esferas se transformam em círculos de  raio a, e equações:

Equação (11)

Equação (12)

  Agora isolando y na equação (11), e substituindo na equação (12) achamos: 

Substituindo este valor de z na equação (11), encontramos: 

Agora usando os valores obtidos para z e y para encontrar o ângulo α (veja figura 1), temos:

 logo: 

Lutamos para encontrar este ângulo, porque ρ é uma constante no intervalo (0, π/3), mas torna-se variável em (π/3, π/2) (observe a figura 1). E como estamos interessados na região comum entre as esferas, primeiro vamos integrar a região que pertence a esfera centrada na origem, e depois integraremos a região da esfera que está centrada em (0, 0, a). Assim se

e de acordo com o sistema de Equações 1 ( que está em:http://legendasdavida.blogspot.com.br/2012/06/coordenadas-esfericas-mudanca-de_22.html):

assim, fazendo a mudança de variáveis, temos: 

e como sabemos que:

e

logo, podemos montar a nossa primeira integral:

Observe que nesta integral φ varia no intervalo (0, π/3), e 0 < θ< 2π, 0 < ρ < a, porque dividimos o sólido em duas partes. Assim resolvendo a integral:

Assim encontramos o resultado da nossa primeira integral. Agora vamos ver como se comporta ρ na segunda parte do sólido. Vamos substituir todos os valores referêntes a x, y e a z do sistema de equações 1(veja:http://legendasdavida.blogspot.com.br/2012/06/coordenadas-esfericas-mudanca-de_22.html), na equação 12, e apartir dai encontrar ρ.

Equação (13)

substituindo os valores de x, y e z do sistema de equações (1) na equação (13), temos:

Assim, para a segunda parte do sólido:

e assim montamos a segunda integral da mesma forma que a primeira, exceto pelos intervalos onde ρ e φ variam. Agora vamos solucionar a integral:

logo, encontramos o valor da segunda integral. Mas para encontrar o resultado desejado, devemos somar os valores encontrados nas duas integrais, desta forma:

Portanto este é o valor procurado! Valeu galera! até mais!

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