Humor de Crente: A Unção da Prosperidade

Só os fortes entenderão... (Especialmente os que compareceram no culto dos jovens no sábado dia 21/07/2012 ). kkkkkkkkkkk

Dia do Amigo

Nada muito meloso.

Números Inteiros (Adição e Subtração)

O conjunto dos números inteiros

Vamos primeiro revisar o conjunto dos números naturais. Esse conjunto é composto apenas por números positivos:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}.

O conjunto dos números inteiros é formado por números negativos e positivos, desta forma:  

 Ζ = {.., -5, -4, -3, -2,-1, 0, +1, + 2,+ 3, +4, +5 ...}.

Agora vejamos algumas notações para os conjuntos:

Z^* = {.., -5, -4, -3, -2, -1, +1, + 2,+ 3, +4, +5 ...} = Z – {0}, isto é, Z^*  representa o conjunto dos números inteiros menos o número zero.

Z^*_– = {.., -5, -4, -3, -2, -1} = Z – {0} – números positivos, ou seja, Z _–^* representa o conjuntos dos números inteiros, menos o número zero e os números positivos.

Z^*₊ = {+1, + 2,+ 3, +4, +5 ...} = Z – {0} – números negativos = N^* (números naturais menos o zero).

Z₊ = {0 ,+1, + 2,+ 3, +4, +5 ...} = N, ou seja, Z ₊  representa o conjunto dos números naturais. Desta forma conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros. Isto se aplica a qualquer conjunto numérico.

Adição e Subtração de números inteiros

Sabemos que a adição e a subtração de números naturais é bastante simples, assim:

1 + 1 = 2 
2 - 1 = 1

Mas a adição e a subtração de números inteiros é um pouco diferente, veja o exemplo:

Joãozinho tem uma dívida no banco de R$ 10.000,00 (dez mil reais), isto quer dizer o que o saldo de Joãozinho está negativo! Isto é: R$­­ – 10.000,00. Mas Joãozinho tem em mãos R$ 2.000,00. Para tentar quitar a dívida Joãozinho entrega dois mil reais ao banco. Joãozinho ainda está devendo?

Solução: Sim, ele ainda está devendo ao banco, por que:

(– 10.000,00) + (2.000,00) = – 8.000,00

Ou seja, Joãozinho ainda está devendo ao banco R$ 8.000,00!

OBSERVE A SEGUINTE REGRA: Na adição ou subtração de números inteiros, conservamos o sinal do maior número, e subtraímos o maior pelo menor número. Observe que esta regra serve apenas para o caso em que os sinais são diferentes. Assim:
- 2 + 1 = -1
- 3 + 4 = 1
5 - 10 = -5
Daí  você pergunta: E se os sinais forem iguais? Se os sinais forem iguais segue a regra:
Na adição ou subtração de dois números inteiros que possuem o mesmo sinal, conservamos o sinal e somamos. veja o exemplo:
5 + 5 = 10
- 2 - 3 = - 5
- 7 - 10 = - 17
Como dissemos, conservamos o sinal e 'jogamos' no resultado. E a seguir somamos normalmente.

No exemplo de Joãozinho o resultado foi e seguinte:

R$ – 8.000,00.

Porque conservamos o sinal do maior número (o sinal do – 10.000,00), e subtraímos 10.000,00 – 2.000,00 = 8.000,00. E por fim colocamos o sinal no maior número no resultado, assim o resultado é: R$ – 8.000,00. Fizemos isso por que os sinais dos dois números são diferentes.

Agora observe a imagem:

 Solução: Derp tinha R$ +3.600,00 reais no banco, mas agora a mulher de Derp sacou R$ 4.000,00. Armando a conta, temos: 3600,00 - 4.000,00. Agora vamos relembrar da nossa regra: Na adição ou subtração de números inteiros, conservamos o sinal do maior número, e subtraímos o maior pelo menor número. assim vamos subtrair o maior número pelo menor: 4.000,00 - 3.600,00 = 400. Mas como a mulher de Derp tirou o dinheiro, o sinal do valor: 4.000,00 é negativo. Deste modo devemos conserva-lo e 'jogar-lo' no resultado final. Assim o resultado final é: R$ - 400,00. Ou seja Derp está com saldo negativo!

Observe mais alguns exemplos:
- 2 + 1 = - 1
- 5 + 9 = + 4
- 100 + 10 = - 90
- 50 - 10 = - 60
- 20 - 30 - 11 = - 61
- 20 - 30 + 11 = - 39
- 100 - 200 + 30 =  - 270

Coordenadas Esféricas (Exercício Resolvido)

1) Calcule:

, onde

e Ω é a região comum entre as esferas:

Equação (9)

Equação (10)

Primeiro vamos projetar as esferas dadas no plano x = 0, assim como na figura abaixo:

Figura (1)

Fazendo isto nossas esferas se transformam em círculos de  raio a, e equações:

Equação (11)

Equação (12)

  Agora isolando y na equação (11), e substituindo na equação (12) achamos: 

Substituindo este valor de z na equação (11), encontramos: 

Agora usando os valores obtidos para z e y para encontrar o ângulo α (veja figura 1), temos:

 logo: 

Lutamos para encontrar este ângulo, porque ρ é uma constante no intervalo (0, π/3), mas torna-se variável em (π/3, π/2) (observe a figura 1). E como estamos interessados na região comum entre as esferas, primeiro vamos integrar a região que pertence a esfera centrada na origem, e depois integraremos a região da esfera que está centrada em (0, 0, a). Assim se

e de acordo com o sistema de Equações 1 ( que está em:http://legendasdavida.blogspot.com.br/2012/06/coordenadas-esfericas-mudanca-de_22.html):

assim, fazendo a mudança de variáveis, temos: 

e como sabemos que:

e

logo, podemos montar a nossa primeira integral:

Observe que nesta integral φ varia no intervalo (0, π/3), e 0 < θ< 2π, 0 < ρ < a, porque dividimos o sólido em duas partes. Assim resolvendo a integral:

Assim encontramos o resultado da nossa primeira integral. Agora vamos ver como se comporta ρ na segunda parte do sólido. Vamos substituir todos os valores referêntes a x, y e a z do sistema de equações 1(veja:http://legendasdavida.blogspot.com.br/2012/06/coordenadas-esfericas-mudanca-de_22.html), na equação 12, e apartir dai encontrar ρ.

Equação (13)

substituindo os valores de x, y e z do sistema de equações (1) na equação (13), temos:

Assim, para a segunda parte do sólido:

e assim montamos a segunda integral da mesma forma que a primeira, exceto pelos intervalos onde ρ e φ variam. Agora vamos solucionar a integral:

logo, encontramos o valor da segunda integral. Mas para encontrar o resultado desejado, devemos somar os valores encontrados nas duas integrais, desta forma:

Portanto este é o valor procurado! Valeu galera! até mais!

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