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kkkkkkkkkkk... é meu filho a vida é dura!

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Coordenadas Esféricas. Mudança de Variáveis em Integrais Triplas.

Sabemos que não é fácil, encontrar o volume, momento de inércia ou o centro de massa de determinados sólidos usando integrais triplas. Por isso, hoje vamos aprender um método chamado: integrais triplas em coordenadas esféricas, que consiste basicamente em fazer a mudança de coordenadas cartesianas, para coordenadas esféricas em integrais triplas. Esta mudança de variáveis torna a integral mais simples, fato que facilita a integração. Mas, antes de chegarmos onde queremos, vamos dar uma olhada em um teorema muito importante:

O teorema de Fubini, afirma que para resolver uma integral tripla, basta transforma-lá em uma integral iteirada. assim como na equação (2).

Equação (1)

Equação (2)

Onde B é uma caixa retangurar definida por, B = [a, b] x [c, d] x [p, q]. Para resolver a integral iterada na equação (2), fixamos y e z, e integramos em relação a x, em seguida fixamos z, e integramos em relação a y, e por fim, integramos em relação a z.

 Mudando de Variáveis

Para fazer corretamente a mudança de váriáveis em integrais triplas, é nacessário que o leitor obeserve bem o gráfico abaixo:

Gráfico (1)

O ponto (x, y, z) pode ser definido pelas suas coordenadas esféricas (θ, ρ, φ), sabendo que θ é o ângulo entre a projeção de ρ no plano xy e o semi-eixo positivo Ox, e φ é o ângulo entre ρ é o semi-eixo positivo Oz.
Observe que as coordenadas cartesianas do ponto (x, y, z), e suas coordenadas esféricas se relacionam da seguinte forma:

Sistema de Equações

Assim a mudança de variáveis na integral tripla nos dá:

Equação (4)

Equação (5)

, onde sabemos que:

Equação (6)

 e

Equação (7)

logo:

Equação (8)

A matriz na equação (7) é comumente chamada de matriz jacobiana, seu determinante aparece na equação (5) devido ao teorema de mudança de variáveis na integral tripla. Teorema este que não enunciaremos aqui.

Uma vez terminada a mudança de variáveis na integral tripla, usa-se o teorema de Fubini para integrar.

Observações: (1) A mudança de coordenadas em integrais triplas, ou coordenadas esféricas, é geralmente usada para a integração de sólidos como: esferas, cones ou sólidos semelhantes a estes.

(2) É necessário ter um conhecimento básico sobre cálculo 1, 2, 3 e 4.

Brian May, Um Exemplo de Superação

Brian May nasceu em 19 de julho de 1947 em Hampton, Inglaterra, filho único de Ruth e Harold May, seus pais se conheceram durante a segunda guerra mundial. Ruth servia ao setor de saúde da W.R.A.F Woman Real Air Feminine. Harold May era navegador dos aviões que faziam a defesa de Malta. Quando a segunda guerra mundial acabou, Harold e Ruth se casaram e foram morar em Feltham, Middlesex, onde Brian nasceu. A Europa ainda estava em fase de reconstrução, e não havia muita riqueza. Harold arrumou um emprego no Ministério da Aviação, onde trabalhava como desenhista eletrônico, ele se esforçou para construir tudo que a sua família não podia comprar, e isto foi desde a mobília, TV, toca-discos e até mesmo rádio.

Brian May

Aos 5 anos de idade Brian Harold começou a aprender piano, pois seus pais perceberam que ele possuía talento para a música, porém ele abandonou as aulas, por detesta-las. Quando completou 6 anos, ele começou a tocar Ukulele (Guitarra Havaiana). O primeiro violão que Brian ganhou foi em seu aniversário de 7 anos, e assim ele não parou mais.

Segundo Ruth, Harold sempre criava algo com Brian, como maquetes, jogos e outras coisas. Por volta de 1958, Brian viu seus amigos comprando guitarras elétricas das marcas Gibson e Fender, mas ele não tinha dinheiro para comprar. Foi nesse contexto que Brian e seu pai Harold, tiveram uma grande idea: construir uma guitarra elétrica artesanalmente, de acordo com os desejos de Brian, que já sabia muito bem o que queria. Em 1963, eles deram início ao projeto em um dormitório de casa, que acabou virando uma oficina. Um dos problemas foi achar a madeira certa, certo dia um amigo de Brian lhe deu uma chaminé feita de mogno, e ele foi esculpindo-a, porém ele percebeu que as coisas não estavam indo bem, então ele nervoso, jogou seu projeto pela janela. Mas ele não desistiu, e reiniciou a construção. Brian usou o material que achou na caixa de botões de sua mãe como trastes. Para construir o corpo da guitarra, que é oco nas laterais, ele utilizou compensado revestido de mogno. A ponte foi fabricada à mão com alguns componentes de uma motocicleta. Quando finalmente eles terminaram a construção da obra prima, eles a chamaram de Red Special, porque o design do corpo foi idealizado pelo próprio Brian, que não gostava dos modelos de sua época. Quando Brian levou sua guitarra para a escola, e mostrou-a para um amigo, este amigo ficou tão impressionado, que quis trocar a guitarra dele de marca pela Red Special.

Red Special

Mas Brian não parou por ai, em 1965 ele entrou para o Imperial College of Science and Technology, para seguir o curso de física e astronomia, três anos depois ele se formou, e deu inicio ao doutorado em astronomia infravermelha.

Brian ficou conhecido por ser o guitarrista, compositor e ocasionalmente vocalista da banda de rock inglesa Queen, ele também foi considerado 26º guitarrista de todos os tempos, de acordo com a revista americana Rolling Stone.

Em 2007, ele concluiu sua tese de doutorado em astrofísica, no Imperial College London, Londres.

Brian May

Sabemos que a história de Brian, não é a mais comovente, mas escrevemos sobre esta história, pelo exemplo de perseverança. Construir uma guitarra naquela época parecia ser algo impossível, mas ele acreditou, e foi até o fim para realizar seu o grande sonho. Até hoje Brain usa a Red Special.

Agora nos lembramos da frase do filme: A Procura da Felicidade (The Pursuit of Happyness), que diz: “Nunca deixe que alguém te diga que não pode fazer algo. Nem mesmo eu. Se você tem um sonho, tem que protegê-lo. As pessoas que não podem fazer por si mesmas, dirão que você não consegue. Se quer alguma coisa, vá e lute por ela. Ponto final”.

Brian May com a Red Special

 As dificuldades que apareceram na vida de Brian, o fizeram crescer, temos de aprender com as dificuldades, lembrar que nada é impossível a quem crer. E se… Brian tivesse desistido? Ele não seria o 26º maior guitarrista de todos os tempos! Portanto lembre-se disto: Nunca desista de seus sonhos, tudo que é fácil demais, não vale nada, mas o que conseguimos com muita dificuldade vale muito! Vá em busca de seus sonhos!